miércoles, 30 de enero de 2013

Peak oil y doctrina del shock

Imagen de http://coto2.wordpress.com



Queridos lectores,

El post de hoy ha sido escrito por una persona con vocación de historiador que aquí tendrá el sobrenombre de Calícrates. Tiene una visión muy interesante del momento histórico que estamos viviendo, que he considerado oportuno compartir con todos Vds. Espero que sea de su interés.

Salu2,
AMT 


LA VERDADERA DOCTRINA DEL SHOCK



La doctrina del Shock (The Shock Doctrine, 2009) es una película documental basada en el libro homónimo de la periodista e investigadora Naomi Klein. Nos narra que en junio de 1951 representantes de agencias de inteligencia occidentales se reunieron en secreto con profesores universitarios de Montreal. Como resultado se financió una investigación sobre el aislamiento sensorial en la universidad de McGill. El aislamiento es una forma de producir una monotonía extrema, provoca una reducción de la capacidad crítica, nubla la mente, y el sujeto se queja de que ni siquiera puede fantasear (¿les recuerda Guantánamo?). Los investigadores se dieron cuenta del arma tan potencialmente terrible que podía llegar a ser. Algunos abandonaron el proyecto. Pero éste siguió adelante bajo las órdenes del Jefe de Psiquiatría Ewen Cameron y con objetivos mucho más ambiciosos: borrar a los sometidos a tratamiento la mente, dejarla en blanco para reprogramarlos desde cero. Cameron combinaba el electroshock con las curas de sueño y la repetición de mensajes grabados. La CIA no tardó en poner en práctica los hallazgos de Cameron. Se buscaba un momento de máxima tensión o parálisis, en el cual el sujeto está mucho más abierto a la sugestión, mucho más dispuesto a obedecer que antes de sufrir el shock.



En la misma época de los experimentos de Montreal, y tal vez con conocimiento de aquéllos, un partidario de otro tipo de shock trabajaba no muy lejos de allí. Milton Friedman era profesor de economía de la universidad de Chicago. Creía que la terapia de shock económico impulsaría a las sociedades a aceptar un capitalismo más puro y desregulado. Para que nos demos cuenta de su increíble influencia política, especialmente a partir de la década de los ochenta, Klein da cuenta en su libro de que cuando Friedman cumplió 90 años, la Casa Blanca organizó una celebración en su honor y se pronunciaron discursos. El Secretario de Defensa, Donald Rumsfeld, que llegó a decir que el homenajeado era “la encarnación de una realidad, la de que las ideas tienen consecuencias”. Ya lo creo. Y bastante dramáticas para los que las experimentaron en sus carnes.



Sin embargo Milton Friedman no podía creer seriamente en el mercado libre, y menos en la capacidad de gestión de las megacorporaciones privadas. Cualquiera que conozca el funcionamiento interno de las grandes multinacionales sabe que la clase dirigente corporativa puede llegar a ser incluso más corrupta e ineficiente que la política. Por no decir que la una no es sino el reverso de la otra. Los fines y objetivos de Friedman, y en general de los economistas de la Escuela de Chicago, eran muy otros.



Resulta evidente que el sistema de libre mercado es claramente disfuncional, especialmente a la hora de calibrar situaciones a medio, y no digamos a largo plazo (pensemos en las actuales extrañas oscilaciones del precio del petróleo). Pero es que además, parte de la base de que todos los actores que acuden al mercado tienen el mismo peso. ¡Como si un broker internacional que controle e invierta capitales de fondos de pensiones por cientos de millones de dólares tuviera la misma capacidad de influir en el mercado que una viejecita que ha ahorrado trescientos euros! Digámoslo claramente. El libre mercado esta hecho a medida a los depredadores comerciales o financieros, que por eso lo predican.



El libre mercado sólo funcionaría correctamente en una situación ideal. Pensemos en una población de reducidas dimensiones donde hubiera tres panaderías, y cada uno de los panaderos dispusiera de establecimientos de muy similar estructura comercial, así como del mismo músculo financiero. Entonces los precios del pan serían los correctos, justos para el consumidor y para los productores, y el mercado estaría perfectamente autorregulado. Pero estas situaciones ideales no se han nunca, ni se darán jamás. Pensemos que uno de los panaderos en cuestión recibiera un suplemento de capital (adquiriera una herencia, le tocara la lotería, etc…), y no anduviera sobrado de escrúpulos. Podría ocurrírsele empezar a vender sus productos a precio de coste, con el fin de hacer quebrar a sus competidores y quedarse a largo plazo con el monopolio del pan en el poblado. Para luego, claro, volver a subir los precios. Esto puede parecer ciencia ficción, o un cuento de Dickens, pero es lo que ocurre diariamente a gran escala en nuestros mercados globalizados. Si alguien te habla de las bondades del libre mercado, o es un ignorante o es un manlintencionado. Cabe también la posibilidad de que se trate de un joven estudiante de económicas, muy entusiasmando con su reciente descubrimiento de Adam Smith, esto es, un teórico sin contacto alguno con la realidad, con lo que bien pudiera ser incluido en la primera categoría. No. Milton Friedman era un gran economista, con vasta experiencia, y no podía creer en estas sandeces. ¿Cuáles eran los verdaderos objetivos de la Escuela de Chicago? ¿Qué buscaban o que querían prevenir?



Vayamos más lejos y entremos en lo políticamente aún más incorrecto. Lo visto en relación al libre mercado ¿no le ocurre igualmente a nuestro deslumbrante sistema partitocrático? ¿Premia verdaderamente la integridad intelectual o la demagogia más ramplona? Vamos a los hechos. En 1979 el Presidente americano James Carter dio el discurso más importante de su presidencia, con el asesoramiento del díscolo Secretario de Energía, James Schlesinger. Alertó a los americanos sobre la excesiva dependencia del país del petróleo, e hizo entrever la necesidad de un cambio radical de política energética, con sacrificios para los ciudadanos. ¿Cuál fue el resultado? ¿Fue sacado a hombros del ruedo por sus alborozados conciudadanos? No. Fue noqueado sin piedad por un vaquero californiano, actor de segunda fila, que probablemente no escribió jamás ni uno solo de sus discursos, y que interpretaba ante el atril con la misma falta de convicción que en la gran pantalla, pero que prometió un nuevo amanecer para América. Seamos honestos. Independientemente de nuestras ideas políticas, que por otra parte no son sino trampas que nos pone el sistema para favorecer la estabulación mental, ante el inevitable declive energético, que afectará dramáticamente a nuestro nivel de vida, si concurriera electoralmente alguien que nos expusiera francamente la necesidad de sacrificios, frente a algún trilero que nos hablase de un nuevo despegue camino del infinito, de la vuelta al crecimiento económico, gracias a la fusión caliente o fría, el motor de agua, o la ayuda de tecnología extraterrestre. ¿A quien votaríamos? Tomémonos unos segundos antes de contestar.



Es la hora de decir abiertamente que el sistema de libre mercado, y la democracia representativa tienen disfunciones por el mismo motivo: alientan el cortoplacismo. Friedman era una persona de gran inteligencia, y no creía ni en lo uno ni en lo otro. Incluso creo que creía aún menos en lo segundo que en lo primero. Pronto lo comprobaremos.


Según el evangelio Friedmanita la economía del libre mercado era indisociable de la libertad y la democracia. Se tiende a pensar que el primer experimento Miltoniano se produjo con los Reaganomics y la política Thatcheriana. Pero, como con escalofriante eficacia demuestra “The Shock Doctrine” esto no es cierto. El primer lugar del mundo que sirvió de tubo de ensayo a los Chicago Boys fue Chile, bajo la dictadura de Augusto Pinochet, y en el marco de una férrea dictadura militar. El plan económico miltoniano, denunció Orlando Letelier, Ministro de Exteriores del último gobierno de Allende, se impuso por medio de miles de asesinatos, el establecimiento de campos de concentración por todo el país y el encarcelamiento de más de 100.000 personas en tres años. Friedman reconoció la importancia del “experimento” chileno y, para mayor escarnio, el año del asesinato de Letelier se le concedió el Premio Nobel de economía. Pero aquello no era más que el principio. El 24 de marzo de 1976 un golpe militar derrocó al gobierno de Isabel Perón en Argentina. Los cachorros de la Escuela de Chicago accedieron inmediatamente a puestos económicos relevantes en el gobierno militar, y aprovecharon la oportunidad para introducir importantes reformas económicas y sociales. Un año después del golpe los sueldos habían perdido el cuarenta por ciento de su valor, se cerraban fábricas y la pobreza se disparó. Como en Chile hubo que aterrorizar al pueblo para que aceptara estas medidas económicas. Se empezó por hacer desaparecer personas, con secuestros perpetrados a plena la luz del día. Los métodos de los militares argentinos, como los de los chilenos, habían sido aprendidos en la Escuela de las Américas, dirigida por militares norteamericanos. Eran técnicas básicas de tortura: desnudar a la víctima, herirla con objetos punzantes, romperles extremidades, marcarla a fuego,… y se emplearon no solo con soldados o terroristas sino contra estudiantes, sindicalistas y todo aquél que se opusiera a la política de libre mercado del régimen. Argentina llevó su régimen de terror un paso más lejos que Chile. Entre los desaparecidos había cientos de mujeres a quienes permitieron dar a luz antes de asesinarlas. La elección de estos dos países citados para iniciar los ensayos probablemente no fue casual. Eran estados con grandes recursos y potencialidad económica.



A principios de los ochenta Friednamitas declarados asumieron el control de los gobiernos británico y norteamericano. Sus métodos, claro está, no fueron los mismos que los aplicados en Latinoamérica. Pero entonces ocurrió algo que nos puede dar luz sobre los verdaderos objetivos de la Escuela de Chicago. A lo largo de dicha década la U.R.S.S. colapsó económicamente. Su enorme burocracia obsoleta, la ineficiente asignación de recursos, y especialmente el escaso rigor en política monetaria, acompañado como es lógico de la imposición de un sistema de precios tasados, condujeron a la escasez y al estraperlo. Aparte, y como ya se ha indicado en algún post, de que maniobras comerciales de ciertas potencias extranjeras expulsaron a los soviéticos del mercado del petróleo, que constituía su principal fuente de divisas, lo que aceleró la catástrofe. Se formaban largas colas ante tiendas de comestibles (otchered), y los mostradores estaban prácticamente vacíos, para desesperación de los pacientes compradores. A pesar de lo cual la implosión del estado soviético se condujo desde arriba, sin explosiones sociales notorias, como consecuencia del rígido esquema autoritario del régimen. Imaginémonos una situación así en un país de Occidente. La rabia y la desesperación serían tan absolutas que podría pasar cualquier cosa. Aquí es donde entra Milton Friedman, y este es el motivo por el que centró el interés de las élites dirigentes desde los años ochenta, sí, desde el momento en que empezaron a tener conciencia de las consecuencias de un futuro escaso de energía.



Ante una situación de falta de recursos lo lógico, quiero decir, lo impepinable, es consumir menos. Esto se puede hacer de dos maneras. Mostrando de forma poco inteligente que el dinero con que pagas los salarios es puro papel mojado, vía soviética, o dándole valor mediante una política monetaria restrictiva, esto es, haciendo más costosa su obtención, por ejemplo bajando salarios, suprimiendo pagas extraordinarias o no revalorizando pensiones. ¿Les suena? Observemos que el resultado es el mismo, el consumo desciende. Pero la percepción psicológica de las masas es completamente diferente.



Entendámoslo con un ejemplo práctico. Faltan recursos. Llegamos a una tienda y hay una cola de media calle. Después de dos horas de espera conseguimos acceder al establecimiento y en el mostrador sólo queda una manzana pasada. ¿Cuál creen que sería la reacción de las multitudes en un poco disciplinado país occidental ante una situación así? Examinemos un segundo supuesto. El hito de partida es el mismo. Faltan recursos energéticos y por ende todos los demás. Sólo tenemos cuatrocientos euros para pasar el mes, porque se nos ha acabado la prestación de paro, y a duras penas cobramos el subsidio. Pero llegamos a un supermercado y… todo es maravilloso, cestas rebosantes de frutas, carnes, pescados envasados bajo luces que realzan su frescura. Aunque de hecho sólo nos llega el presupuesto para una caja de galletas. Conclusión: soy un inútil. No he sabido reciclarme laboralmente, no tengo suficiente movilidad laboral, debería haber aceptado aquel trabajo de picapedrero que me ofrecían en Indonesia. Yo soy el culpable. El Miltonismo es un sistema de control de masas, ante una situación de escasez que se viene previendo desde los años setenta, y que hoy llama a nuestras puertas. Su obsesión privatizadora es secundaria, resultado del componente inflacionario (destructor de valor monetario) que, consideran, tiene la gestión pública de servicios considerados por ellos no esenciales (casi todos) en una fase recesiva (previsión del Peak Oil) y no en una preocupación por la calidad de aquéllos. Las políticas neoliberales nunca han buscado realmente el crecimiento económico, por saber de antemano que éste, a la larga, era insostenible.



El monetarismo a ultranza, la regla o disciplina monetaria, es la única verdad de las doctrinas Miltonianas. Todo lo demás es relleno falso, excipiente para tragar mejor la medicina y que no resulte tan amarga. Las teorías de Friedman, las de verdad y no las de cartón piedra de camuflaje, fueron promovidas como respuesta a las convulsiones sociales que produciría la futura e inevitable escasez energética. Por eso gozaron de especial aceptación durante el periodo Reagan-Thatcher, esto es, después de la defenestración política de Carter y de optarse sin empaques por el mantenimiento a cualquier precio del BAU, aun a pesar de conocerse de antemano del desenlace del largometraje. Pero el sistema debía se puesto a punto. Requería ensayos y ajustes, a través del método de prueba y error, para encontrarse perfectamente operativo cuando debiera ser aplicado por pura necesidad. El medio: la terapia del shock. La provocación artificial de conflicto y la experimentación de lo que podría hacerse para parar el primer golpe cuando asomase la penuria petrolera. En principio podemos pensar que, en efecto, es útil evitar o mitigar el caos que se cierne sobre nosotros. O tal vez no. ¿A quien beneficia que no se desencadene la anarquía y la sublevación social? Podríamos pensar que a todos. Pero ¿a todos por igual? No, a algunos más que a otros.



La teoría Miltoniana, a pesar de sus declamaciones en favor del capitalismo popular, especialmente en su aplicativo thatcheriano, muy influido también por el “orden espontáneo” de Friedrich Hayek, es básicamente una doctrina elitista. Fue promovida, mimada y aplicada por las oligarquías político-corporativas, para la defensa de sus intereses en lo inmediato, y ante las crisis por venir. Por esto mismo consta, como el célebre bajo relieve de Notre Dame de Paris, de un libro abierto y otro cerrado, esto es, de una formulación pública para la ilustración o más bien desinformación de las masas, y de una agenda oculta, reservada a los iniciados en el culto Friednamita, sus futuros beneficiarios.



¿De verdad creemos que nuestra clase dirigente (corporativa y política, insisto son lo mismo) no conocen de hace largo tiempo la situación a la que nos dirigimos? Recuerdo que hace ya lustros, por una carambola no fácil de explicar, tuve acceso a cierta documentación de una persona de esas que acceden a los aeropuertos a través de la zona Vips. Se trataba de unos dossieres, elaborados por una empresa especializada, de la que nunca había oído hablar. Me quedé embobado leyendo. En un tono asertivo, no como artículo de opinión, te explicaba el como, cuando y porqué de la situación política de aquél entonces, los verdaderos motivos de ciertas decisiones, y lo que con toda certeza ocurriría en el próximo futuro, con la contundencia no ya de una previsión, sino de una auténtica profecía autocumplida. Quitémonos la venda de los ojos. Quienes se mueven en ciertos niveles, lo saben todo. Y multitud de informaciones no alcanzan nunca las páginas de los diarios. Y eso que, presumo, sus directores son suscriptores de publicaciones como la que aquél día, puntualmente, llegó a mis manos.



Milton Friedman, sus excelentemente pagados apóstoles y discípulos, sus think tanks de apoyo, y la prensa económica comprada de saldo, no son otra cosa que las fuerzas de choque de la plutocracia internacional. Ellos son los primeros interesados en el mantenimiento a cualquier precio de un atisbo de orden social, porque son los que más tienen que perder de su destrucción. ¿Qué tiene esta pseudoaristocracia planetaria postmoderna? Esencialmente liquidez, dinero, invertido en paraísos fiscales. El mantenimiento del valor de sus activos monetarios es el pilar de su supremacía económica y social.



Es cierto que los elitistas tienen otros activos. Obras de arte, joyas y metales preciosos, acciones de empresas que no valdrán nada en caso de colapso económico, así como propiedades inmobiliarias. También redes clientelares, bastante soberbia y un inmenso desprecio por lo que califican como “la masa sucia”, esto es, todos nosotros. Pero nada de esto se come. Sus propiedad rústicas pueden producir alimento, pero alguien tendrá que cultivarlas. Siempre necesitarán mano de obra semiesclava. Y por mucha “seguridad privada” que contraten para defender sus lechugas tras vallas electrificadas saben que las masas enfurecidas y hambrientas arrasaran con todo lo que se les ponga por delante. Por todo lo cual es muy probable que la apuesta a largo plazo no les salga bien. Y ellos lo saben. El monetarismo Friedmaniano no es más que una primera trinchera. Luego tendrán que recurrir a otros métodos más contundentes.



Hemos llegado al final del camino Friedmanita. Al momento de la verdad. La actual crisis, que como sabemos no terminará nunca, ya no es una terapia, un experimento. Es el shock real que esperaban desde hace décadas los eminentes economistas de la Escuela de Chicago, y la verdadera razón por la que despreciaban las teorías Keynesianas (desde este punto de vista, tal vez con cierto conocimiento de causa). El decrecimiento de nuestras disponibilidades energéticas, hace ya imposible el crecimiento económico, necesario para mantener en pié el BAU. ¿Cuánto tiempo mantendrán las “ideas dinámicas” del profeta de los elitistas a raya a las masas? Depende de nosotros. De momento los fogones están al mínimo. Pero no nos engañemos. Todo irá a peor. Y los que cuecen la rana, esto es, a todos nosotros, tarde o temprano se verán obligados a abrir la espita. La ignorancia es nuestro mayor enemigo. Y no puede haber peor demostración de incompetencia que la de quien se deja cocinar en agua hirviendo, pudiendo desde el principio salvarse con solo dar un buen salto. Eso sí, al vacío.





Calícrates

lunes, 28 de enero de 2013

Matemática del crecimiento y del decrecimiento

Imagen de http://theragblog.blogspot.co.uk



Queridos lectores,

El siempre eficaz Luis Cosin me envió hace semanas este post. Es bastante técnico, pero permite ilustrar con ecuaciones y modelos sencillos la realidad de nuestro paradigma. Se puede buscar complicada retórica para enmascarar las cosas, pero al final el proceso sigue una lógica implacable.

Espero que les resulte tan interesante como a mi.

Salu2,
AMT


Dinámicas de crecimiento y decrecimiento
 
Las técnicas de modelización mediante sistemas dinámicos permiten construir modelos de la realidad y hacer estimaciones razonables sobre su comportamiento futuro.
Actualmente son una herramienta indispensable en la toma de decisiones.

En este artículo, vamos a discutir varios de los modelos dinámicos empleados más frecuentemente para describir fenómenos naturales y sociológicos.

Quien esté interesado en la parte matemática, puede ver el desarrollo en el anexo.



1. Crecimiento exponencial

Cuando la tasa de crecimiento de una magnitud es proporcional a la cantidad existente (es decir, cuando, de alguna manera, todos los elementos existentes contribuyen al crecimiento):

y’ = k y

Con k la tasa de crecimiento, el crecimiento de esa magnitud tiene forma exponencial (ver anexo 1):

y = yo ekt

Con yo el valor en el momento inicial t = 0. A continuación, mostramos un ejemplo de gráfica de crecimiento exponencial con yo=1 y una tasa del 5%: 

 


Se llama periodo de duplicación al tiempo necesario para que y(t) se duplique. Es decir, es el periodo p de modo que:

y(t+p) = 2 y(t)

Sustituimos:

yo ek(t+p) = 2 yo ekt

Cancelando yo y por propiedades de los exponentes:

yo ekt ekp = 2 yo ekt

Cancelando el factor yo ekt a ambos lados:

ekp = 2

es decir, el periodo de duplicación es:

p = ln(2) / k ~ 0,69 / k.

Por ejemplo, si la tasa de crecimiento es de un 5%, entonces k = 0,05 y el periodo de duplicación es p = 0,69 / 0,05 = 13,8.

Como regla mnemotécnica aproximada puede usarse la siguiente (regla 10/7):

Una tasa de crecimiento del 10% supone duplicar cada 7 unidades de tiempo”

El crecimiento exponencial se observa en la naturaleza cuando hay retroalimentación (cada elemento contribuye al crecimiento posterior) y aún no actúan restricciones (por ejemplo, crecimiento inicial de una colonia de bacterias o expansión de una epidemia).



2. Decrecimiento exponencial

El decrecimiento exponencial es una situación completamente análoga: se da cuando la tasa de disminución de una magnitud es proporcional a las existencias.

y’ = - k y

con k (positivo) la tasa de decrecimiento. En este caso, la curva tiene forma de exponencial inversa (ver anexo 2):

y = yo e –kt

Con yo el valor en el momento inicial t = 0. Por ejemplo, para una cantidad inicial yo = 100 y una tasa de decrecimiento del 5%:





Se llama periodo de semiagotamiento (o semidesintegración) al tiempo que tarda la cantidad existente en reducirse a la mitad.

Es decir, es el periodo p de modo que:

2 y(t+p) = y(t)

Sustituimos:

2 yo e-k(t+p) = yo e-kt

Por propiedades de los exponentes:

2 yo e-kt e-kp = yo e-kt

Cancelando el factor yo ekt en los dos miembros:

2 e-kp = 1

es decir, al igual que en el caso del crecimiento exponencial:

p = - ln(1/2) / k ~ 0,69 / k

Si la tasa de decrecimiento es de un 5%, entonces k = 0,05 y el periodo de semiagotamiento es p = 0,69 / 0,05 = 13,8.

Como regla mnemotécnica aproximada puede usarse la siguiente (regla 10/7):

Una tasa de decrecimiento del 10% supone reducir a la mitad cada 7 unidades de tiempo”

Experimentalmente, se encuentran decrecimientos exponenciales en fenómenos naturales como la desintegración de núcleos atómicos, y en la tasa de descubrimiento de nuevos yacimientos de un recurso finito (cuando la tasa de nuevos descubrimientos puede ser aproximada a una proporción de “lo que queda por descubrir”).



3. Crecimiento logístico

Normalmente, el crecimiento de una magnitud es exponencial en la ausencia de restricciones, pero cuando éstas se manifiestan, lo hacen disminuyendo la tasa a medida que ésta se aproxima a un máximo admisible.

El crecimiento logístico es una combinación de crecimiento y decrecimiento exponenciales. Un ejemplo característico es la curva logística, que es la solución de la ecuación de Verhulst:

y’ = k y (1 – y/r)

Con k la tasa de crecimiento “libre de restricciones”, y r el máximo admisible.

Para y mucho menor que r, el crecimiento es el máximo posible (tasa k), pero a medida que y se va aproximando a r, éste va disminuyendo hasta hacerse 0.

En este caso, la curva tiene la siguiente forma (ver anexo 3):

y = r / ( 1 + ( r/yo – 1 ) e-kt )

Con yo el valor en el momento inicial t = 0. Por ejemplo, tomando un máximo de r = 100, un valor inicial yo=1 y un crecimiento libre de restricciones k = 5% tenemos la siguiente gráfica característica:





En este modelo hay un punto característico, llamado punto de inflexión, en el que la curva deja de ser cóncava para ser conveza. Corresponde al momento en que la segunda derivada (la “aceleración” de y) es 0. Es decir:

0 = y’’ = k y’ (1 – y/r) – k y y’/r = k y’ – 2 k y y’/r = k y’ (1 – 2 y / r )

Como la derivada y’ no se anula, entonces el segundo factor debe anularse y tenemos:

y = r/2

Es decir, cundo la magnitud y alcanza la mitad de su valor máximo, el crecimiento comienza a ser más lento.

El crecimiento logístico es una generalización del crecimiento exponencial.

  • Para pequeños valores, de la magnitud, se asemeja mucho al crecimiento exponencial.
  • Sin embargo, a partir de un cierto punto, el crecimiento se ralentiza hasta tender a 0.

La curva logística representa aproximadamente fenómenos que se auto-limitan: propagación de rumores, la extensión de una innovación tecnológica o una epidemia: al principio estos fenómenos se propagan rápidamente, pues cada “infectado” es susceptible de traspasar el “contagio” a cualquier otro individuo que tenga contacto con él (en esta fase, el crecimiento parece exponencial), pero cuando el número de “infectados” crece, es cada vez más difícil encontrar una persona que previamente no haya estado en contacto con la “enfermedad”.

Es típica la aplicación de la ecuación logística al crecimiento poblacional según el cual:

  • La tasa de reproducción es proporcional a la población existente.
  • La tasa de reproducción es proporcional a la cantidad de recursos disponibles (que disminuye de forma proporcional a la población existente).



4. Un modelo para el agotamiento por uso de recursos finitos

Podemos combinar los modelos anteriores para describir el comportamiento de un recurso finito que se agota con el uso. Siguiendo la bibliografía más frecuente, llamaremos:

  • S(t) (de “stock) a las existencias en el instante t
  • P(t) a la producción total acumulada (por tanto, P’(t) es la producción instantánea)
  • Y a los recursos totales (una constante)
  • D(t) a la cantidad total descubierta acumulada hasta t (por tanto, D’(t) es la tasa de descubrimientos).

Entonces, haciendo dos sencillas hipótesis, que aproximan bastante bien la mayor parte de las situaciones reales:

  • La tasa de nuevos descubrimientos es proporcional a lo que queda por descubrir, por medio de una constante d (a medida que se va descubriendo “lo más fácil” cada vez va costando más descubrir “lo más difícil”):

D’ = d ( Y – D ) (I)



  • La producción instantánea P’ es proporcional al stock disponible S en cada momento, por medio de una constante p (áreas de producción grandes, con más recursos, producen más rápido que áreas más pequeñas):

P’ = p S (II)

La variación instantánea del stock S’ son entonces los nuevos descubrimientos D’ menos la producción instantánea P’:

S’ = D’ - P’ (III)

Tenemos así un sistema dinámico sencillo con tres variables (D, P y S) regido por tres ecuaciones diferenciales (I), (II) y (III). Puede demostrarse (ver el anexo 3) que la solución a este sistema es:

D(t) = Y ( 1 - e-dt )

S(t) = ( e-pt - e-dt ) d Y / ( d - p )

P(t) = Y ( 1 + ( - d e-pt + p e-dt ) / ( d - p ) )

Por ejemplo, tomando unas existencias totales de Y = 100, una tasa de descubrimiento d = 5% (esto es como decir que prácticamente todo el recurso se descubrirá antes de 100 periodos de tiempo) y una tasa de producción p = 8% (lo que equivale a decir que en todo momento se produce a un ritmo al cual “aún queda recurso para 30 periodos”) obtenemos el siguiente gráfico (que a estas alturas ya debería ser familiar para muchos!).



La cantidad descubierta (línea roja) “tira” hacia arriba de la cantidad producida (línea morada) aunque ésta lleva un retraso de casi 20 o 30 unidades de tiempo.

Notar que las existencias (línea verde) alcanzan un máximo y luego disminuyen suavemente. Las existencias nunca superan el 30% del total.

La línea azul claro es la producción instantánea y la granate, la tasa de descubrimientos. A esta escala no se aprecian muy bien, pero si hacemos un “zoom” obtenemos la curva de declinio clásica (la curva verde son las reservas y la azul claro, la producción):






Hacemos un zoom aún mayor para ver en detalle las curvas de descubrimientos y producción:



En su modelo, Hubbert predice una producción mayor en el pico (y, consecuentemente, una caída más abrupta), aunque la forma de la curva no es exactamente una “campana” sino una “beta” que se “estira” hacia la derecha. La “beta” y la exponencial inversa (agotamiento exponencial) son las curvas de declinio más típica observada en minas y pozos de petróleo y gas.

Una conclusión interesante de este modelo es que se puede calcular fácilmente el máximo de producción (y de las reservas) en función de los recursos totales, la tasa de descubrimientos y la tasa de producción.

Es el momento en que P’ = pS deja de crecer, es decir, cuando su derivada P’’ = 0 Pero:

0 = P’’ = p S’= p ( D’ - P’ ) = p ( d ( Y – D ) – P’ )

Es decir, la condición de máximo es:

P’ = d ( Y – D ) = D’

El máximo ocurre exactamente cuando la tasa de descubrimientos iguala a la producción instantánea (en el gráfico, ocurre cuando las líneas azul claro y granate se cruzan). Técnicamente, esto ocurre cuando se dejan de poder remplazar todas las reservas consumidas. A partir de ahí, ya no hay vuelta atrás.

En el ejemplo mostrado, en ningún momento se produce más del 2,3% del total de existencias.

A modo de curiosidad, muestro aquí los datos numéricos:

t D D' S P P'
0
0,00
5,00
0,00
0,00
0,00
1
4,88
4,76
4,69
0,19
0,37
2
9,52
4,52
8,78
0,73
0,70
3
13,93
4,30
12,35
1,58
0,99
4
18,13
4,09
15,43
2,70
1,23
5
22,12
3,89
18,08
4,04
1,45
6
25,92
3,70
20,34
5,58
1,63
7
29,53
3,52
22,25
7,28
1,78
8
32,97
3,35
23,84
9,13
1,91
9
36,24
3,19
25,15
11,09
2,01
10
39,35
3,03
26,20
13,15
2,10
11
42,31
2,88
27,03
15,28
2,16
12
45,12
2,74
27,65
17,47
2,21
13
47,80
2,61
28,10
19,70
2,25
14
50,34
2,48
28,38
21,96
2,27
15
52,76
2,36
28,53
24,23
2,28
16
55,07
2,25
28,55
26,52
2,28
17
57,26
2,14
28,46
28,80
2,28
18
59,34
2,03
28,27
31,07
2,26
19
61,33
1,93
28,00
33,32
2,24
20
63,21
1,84
27,66
35,55
2,21
21
65,01
1,75
27,26
37,75
2,18
22
66,71
1,66
26,80
39,91
2,14
23
68,34
1,58
26,30
42,03
2,10
24
69,88
1,51
25,76
44,12
2,06
25
71,35
1,43
25,19
46,15
2,02
26
72,75
1,36
24,60
48,15
1,97
27
74,08
1,30
23,99
50,09
1,92
28
75,34
1,23
23,36
51,98
1,87
29
76,54
1,17
22,72
53,83
1,82
30
77,69
1,12
22,07
55,62
1,77
31
78,78
1,06
21,42
57,36
1,71
32
79,81
1,01
20,77
59,05
1,66
33
80,80
0,96
20,11
60,68
1,61
34
81,73
0,91
19,47
62,26
1,56
35
82,62
0,87
18,83
63,80
1,51
36
83,47
0,83
18,19
65,28
1,46
37
84,28
0,79
17,57
66,71
1,41
38
85,04
0,75
16,96
68,09
1,36
39
85,77
0,71
16,35
69,42
1,31
40
86,47
0,68
15,76
70,70
1,26
41
87,13
0,64
15,18
71,94
1,21
42
87,75
0,61
14,62
73,13
1,17
43
88,35
0,58
14,07
74,28
1,13
44
88,92
0,55
13,53
75,39
1,08
45
89,46
0,53
13,01
76,45
1,04
46
89,97
0,50
12,51
77,47
1,00
47
90,46
0,48
12,01
78,45
0,96
48
90,93
0,45
11,54
79,39
0,92
49
91,37
0,43
11,08
80,30
0,89
50
91,79
0,41
10,63
81,16
0,85
51
92,19
0,39
10,20
82,00
0,82
52
92,57
0,37
9,78
82,79
0,78
53
92,93
0,35
9,37
83,56
0,75
54
93,28
0,34
8,98
84,30
0,72
55
93,61
0,32
8,61
85,00
0,69
56
93,92
0,30
8,25
85,67
0,66
57
94,22
0,29
7,90
86,32
0,63
58
94,50
0,28
7,56
86,94
0,60
59
94,77
0,26
7,24
87,53
0,58
60
95,02
0,25
6,93
88,10
0,55
61
95,26
0,24
6,63
88,64
0,53
62
95,50
0,23
6,34
89,16
0,51
63
95,71
0,21
6,06
89,65
0,49
64
95,92
0,20
5,80
90,13
0,46
65
96,12
0,19
5,54
90,58
0,44
66
96,31
0,18
5,30
91,01
0,42
67
96,49
0,18
5,06
91,43
0,41
68
96,66
0,17
4,84
91,82
0,39
69
96,83
0,16
4,62
92,20
0,37
70
96,98
0,15
4,42
92,56
0,35
71
97,13
0,14
4,22
92,91
0,34
72
97,27
0,14
4,03
93,24
0,32
73
97,40
0,13
3,85
93,55
0,31



5. Modelos de predador-presa

Son modelos aplicables a recusos renovables, donde un recurso que se autoregenera (que podemos asimilar a la “presa”) crece cuando el consumidor (que podemos asimilar a”predador”) retrocede y decrece cuado el consumidor crece.

Si llamamos S a la cantidad o “stock” del recurso (presa) y C a la cantidad del consumidor (predador) en cada instante t, uno de los modelos más exitosos a la hora de predecir fenómenos observables se debe a Lotka y Volterra.

Realmente, se trata de una generalización del crecimiento logístico. Se asume que:

  • Para la presa, el crecimiento es proporcional a la cantidad existente S y es frenado por la cantidad de predadores C:

S’ = d S ( 1 – C/e)

El factor d es la tasa de crecimiento “libre de predadores” y e es la cantidad de predadores a partir de la cual la tasa de crecimiento se hace negativa.

  • Para el predador, el decrecimiento es proporcional a la cantidad de competencia (predadores) y es suavizado por la cantidad de presas:

C’ = - f C ( 1 – S/g )

El factor f es la tasa de decrecimiento “libre de presas” y g es la cantidad de presas a partir de la cual la tasa de crecimiento se hace positiva.

Es duro ser presa, pero más duro aún es ser predador!

En general, estas ecuaciones tienen una solución, pero no es analítica (es decir, la solución no se puede expresar con una fórmula como en los ejemplos anteriores), pero sí pueden usarse métodos numéricos en una hoja de cálculo para obtener aproximaciones:

Una característica de las soluciones de la ecuación es que tienen un carácter aproximadamente cíclico (ambos valores oscilan en un rango máximo y mínimo). Por ejemplo, para d = 0,05 (tasa de crecimiento del 5%), e = 15 (número máximo sostenible de predadores), f = 0,1 (tasa de mortalidad de predadores del 10%) y g = 60 (número mínimo de presas necesarias para que la población de predadores se estabilice), tenemos:




El carácter cíclico y la presencia de atractores se ve mejor representando la evolución de C y S conjuntas (presas en eje horizontal y predadores en eje vertical):







El sistema de Lotka-Volterra se ha ropuesto como modelo de los ciclos económicos cuando hay un factor limitante (por ejemplo, la oferta monetaria o el suministro energético).




ANEXOS

Anexo 1: Ley de crecimiento exponencial

Si:

y’ = k y

Dividiendo por y ambos miembros:

y’ / y = k

E integrando:

ln(y) = kt + c

De donde:

y = ekt+c

Si asumimos que en el momento inicial t = 0 el valor es yo entonces c = ln(yo).

y = yo ekt



Anexo 2: Ley de decrecimiento exponencial

Si:

y’ = - k y

Dividiendo por y ambos miembros:

y’ / y = - k

E integrando:

ln(y) = - kt + c

De donde:

y = e-kt+c

Si queremos que el valor inicial t = 0 la cantidad inicial sea yo, entonces c = ln(yo), o bien:

y = yo e –kt



Anexo 3: Ley de crecimiento logístico

Si:

y’ = k y (1 – y/r)

Hacemos el cambio de variable z = y/r. Entonces:

r z’ = k r z ( 1 – z )

Cancelamos el factor r a ambos lados:

k z ( 1 – z ) = z’

Dividimos por z ( 1 – z ):

k = z’ / z ( 1 – z )

Teniendo en cuenta que:

-k = - z’ / ( 1 – z ) - z’ / z = ln ( 1 – z )’ – ln( z )’

Integrando ambos lados:

-kt + c = ln( 1 – z ) - ln( z ) = ln ( ( 1 – z ) / z )

Tomando exponenciales:

e-kt+c = ( 1 – z ) / z = 1/z – 1

Es decir:

z ( 1 +e-kt+c ) = 1

z = 1 / ( 1 + e-kt+c )

Deshacemos el cambio de variable:

y = r z = r / ( 1 + e-kt+c )

Si el valor en el instante t=0 es yo, entonces podemos tomar c = ln( r/ yo – 1 ), es decir:

y = r / ( 1 + ( r/yo – 1 ) e-kt )



Anexo 4: Ley de agotamiento de recursos finitos

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

D’ = d ( Y – D ) (I)

P’ = p S (II)

S’ = D’ - P’ (III)

Vamos a simplificarlo. Sustituyendo (II) en (III):

D’ = d ( Y – D ) (I)

S’ = D’ - p S (III)

La ecuación (I) podemos rescribirla así:

D’ / ( Y – D ) = d

- ln ( K – D )‘ = - d

Integrando:

Y – D = e-dt + c

Es decir:

D = Y - e-dt + c

Puesto que D(0) = 0 (al principio, asumimos que no se ha descubierto nada aún) tenemos:

0 = Y - e c

es decir, c = ln(Y), de donde:

D(t) = Y ( 1 - e-dt )

Sustituyendo en (III):

S’ = D’ - p S = d Y e-dt - p S

S’ + p S = d Y e-dt

Derivamos ambos lados:

S’’ + p S’ = - d2 Y e-dt

Cancelamos los términos a la derecha (multiplicando la primera ecuación por d y sumando miembro a miembro):

( S’’ + p S’ ) + d (S’ + p S ) = 0

Es decir:

S’’ + ( p + d ) S’ + pd = 0

Obtenemos una ecuación diferencial lineal, que podemos expresar así (∂ el operador “derivada respecto de t”):

( ∂ + p ) ( ∂ + d ) S = 0

Y cualquier solución a este sistema (que tiene polinomio característico (X+p)(X+d)) es de la forma:

S = u e-pt + v e-dt

Con u y v cualesquiera. Imponemos las restricciones. S(0) = 0 por lo que:

0 = u + v

Y entonces:

S = u ( e-pt - e-dt )

Además,

S’ = d Y e-dt - p S

Sustituyendo:

u ( -p e-pt + d e-dt ) = d Y e-dt - p u ( e-pt - e-dt )

Cancelamos términos a ambos lados:

d u e-dt = d Y e-dt + p u e-dt

Y dividimos por e-dt para obtener una expresión de u:

d u = d Y + p u

u = d Y / ( d - p )

Lo que nos da la expresión para S:

S(t) = ( e-pt - e-dt ) d Y / ( d - p )

Por último, tenemos la tasa de producción:

P’ = p S = ( e-pt - e-dt ) p d Y / ( d - p )

Integrando:

P = ( - e-pt /p + e-dt / d ) p d Y / ( d - p ) + c

Es decir:

P = ( - d e-pt + p e-dt ) Y / ( d - p ) + c

Como P(0) = 0 (la producción inicial es 0):

0 = ( - d + p ) Y / ( d - p ) + c = -Y + c

De donde:

c = Y

Y tenemos finalmente:

P(t) = Y ( 1 + ( - d e-pt + p e-dt ) / ( d - p ) )



Anexo 5: Leyes de Lotka y Volterra

Si tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
Y’ = p Y – q YC = Y ( p – q C)
C’ = r YC – s C = C ( rY – s )

Reordenamos:

Ln(Y)’ = Y’/Y = p – q C
Ln(C)’ = C’/C = r Y – s


Referencias: